若一条直线与△ABC的三条边AB、BC、CA或其延长线相交于F、D、E点，则AF/FB×BD/DC×CE/EA=1。

即在△ABC的三条边BC、CA、AB或其延长线上有点P、Q、R，则P、Q、R共线的充要条件如下

充要条件BP/PCXCQ/QAXAR/RB=1。

折叠校样1:

过点A是AG∨BC在g处穿过DF的延长线。

AF/FB=AG/BD，BD/DC=BD/DC，CE/EA=DC/AG

乘以三个公式:

AF/FB×BD/DC×CE/EA = AG/BD×BD/DC×DC/AG = 1

证明2:在M点做一条直线AM∨FD穿过BC延长线，则

CE/EA=CD/DM，AF/FB=MD/DB，所以

(DB/DC)X(CE/EA)×(AF/FB)=(DB/DC)X(CD/DM)X(MD/DB)= 1

另一个证书:

连接CF和AD是基于“两个三角形在同一高度的面积比等于底的比”这一性质。

Af: FB = s △ ADF: s △ BDF ………… (1)，BD:DC = s△BDF:s△CDF…………(2)，CE: EA = s △ CDE: s △ ade = s △ FEC: s △ FEA。):(S△ade+S△FEA)= S△CDF:S△ADF…………………………(3)(1)×(2)×(3)(AF:FB)×(BD:DC)×(CE:EA)=(S)。

折叠它的逆定理也成立:若AB、BC、CA边或它们的延长线上有三个点F、D、E，AF/FB×BD/DC×CE/EA=1，则F、D、E共线。利用这个逆定理，可以判断三点共线。

(一)这个定理可以用梅涅劳斯定理(简称梅氏定理)来证明:∫△ADC被一条直线所截∴(CB/BD)*(do/OA)*(AE/EC)= 1①∫△Abd被一条直线所截∴(BC/CD)*(do/OA)*(af/FB)= 12②/①近似份额:(db/CD)×(ce/ea)×(af/ea)=S△AOB/S△AOC ③同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④，AF/FB = S△AOC/S△BOCσ③×④×⑤(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)= 1。①利用塞瓦定理的逆定理，证明三角形的三条高线必相交于一点:设△ABC的三条边的高度分别为AE、BF、CD，垂足分别为D、E、F。根据塞瓦定理的逆定理，因为(AD:DB)*(Be:EC)*(CF:FA)=[(CD * COT∠BAC。②三角形的三条中线相交于一点(重心):如右图所示，d和e分别是△ABC的边BC和AC的中点，连接AD和BE相交于o点，连接CO并延伸AB在f点的交点，证明:AF=FB: ∵BD=DC，CE = EA ∴ BD/DC = 65438。ce/ea = 1(af/FB)*(BD/DC)*(ce/ea)= 1∴af/FB = 1∴af = FB，∴CF是△ABC侧的中线。所以AL，BM，CN交于一点的充要条件是λμν=1。(注意区别于梅内利奥斯定理，其中λμν=-1)3编辑1。塞瓦定理的角形是AD，BE，CF相交于一点的充要条件是:(sin∠bad/sin∠DAC)*(sin∠ACF/sin∠FCB)*(sin∠CBE/sin∠EBA)= 1，用正弦定理和三角形面积公式2很容易证明。CF相交于一点的充要条件是:(AB/BC)×(CD/DE)×(EF/FA)=1，用Seva定理、正弦定理的角度形式和弦长与对圆周角的关系就可以很容易地证明。